英文
lattice
简介
一类代数结构.它是建立在偏序集P=(E，≤)之上的.由E的任意元素x，y构造的如下两个集合N1(x，y)={z∈E|x≤z且y≤z}及N2(x，y)={z∈E|z≤x且z≤y}.它们作为P的子集均仍为偏序集，一般不一定有最小元或最大元.若对P的任意元素x，y，N1(x，y)均有最小元，N2(x，y)均有最大元，则称P为格，并记为L.在格L上，把N1(x，y)和其最小元的对应关系视为一类二元运算，称为x和y的交，记为x∧y.对称地，把N2(x，y)和其最大元的对应关系视为x和y的结，记为x∨y.它们是格上最基本的运算.这两类运算满足：
1.同一律x∨x=x，x∧x=x.
2.交换律x∨y=y∨x;x∧y=y∧x.
3.结合律x∨(y∨z)=(x∨y)∨z，
x∧(y∧z)=(x∧y)∧z.
4.吸收律x∧(x∨y)=x∨(x∧y)=x，
其中x，y和z均为E的任意元素.因此格又可视为满足上述四条规律的代数结构L=(E，∨，∧).
虽然格的理论建立较晚，大约在20世纪30年代左右，但是很快就在解决序集问题和组合问题及代数问题中迅速发展，成为有关研究的有效理论基础.格理论伴随拟阵理论的发展就是一个明显的例证.与一般具有序特征的代数结构不同的是，格中元素的序特征不是外在的，而是内在的.这是由于它们的序关系完全可以等价地由格的内在运算来刻画：x≤y当且仅当x∨y=y或者x≤y当且仅当x∧y=x.这也反映了格的交运算与结运算的对称性.有一些重要的格的例子.例如，B=(2E，)是格，这里2E为E的所有子集的构成的集族，而|E|=n，其上的结运算x∨y为集x和集y的并集，交运算x∧y为集x和集y的交集.又如，若自然数n的所有正整除数组成集合为E，E的元素x，y有序关系xRy当且仅当x能整除y，则偏序集P=(E，R)为格，x∨y为x和y的最小公倍数，x∧y为x和y的最大公约数.