哥德巴赫猜想是什么?如何证明

发布时间:2021年01月15日 阅读:536 次

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哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和[1]。但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,但是一直到死,欧拉也无法证明。

[2]因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定,原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。(n>5:当n为偶数,n=2+(n-2),n-2也是偶数,可以分解为两个质数的和;当n为奇数,n=3+(n-3),n-3也是偶数,可以分解为两个质数的和)欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。

1966年陈景润证明了"1+2"成立,即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和"。  

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。  

从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。

若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。2013年5月,巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。





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是不是所有的大于2的偶数,都可以表示为两个素数的和?  

(注意,本文下部如有所谓“中国最新进展,已经证明1+1”的,属于无聊人士添加的恶意伪科学范畴,读者不必理会.“还有待解决.”为最后一句.)  

这个问题是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的,所以被称作哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture).同年6月30日,欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的,但他无法证明.

现在,哥德巴赫猜想的一般提法是:每个大于等于6的偶数,都可表示为两个奇素数之和;每个大于等于9的奇数,都可表示为三个奇素数之和.其实,后一个命题就是前一个命题的推论.  

哥德巴赫猜想貌似简单,要证明它却着实不易,成为数学中一个著名的难题.18、19世纪,所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进,直到20世纪才有所突破.1937年苏联数学家维诺格拉多夫(и.M.Bиногралов,1891-1983),用他创造的"三角和"方法,证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和".不过,维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇,与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远.  

直接证明哥德巴赫猜想不行,人们采取了迂回战术,就是先考虑把偶数表为两数之和,而每一个数又是若干素数之积.如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b",那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立.从20世纪20年代起,外国和中国的一些数学家先后证明了"9+9""2十3""1+5""l+4"等命题.  

1966年,我国年轻的数学家陈景润,在经过多年潜心研究之后,成功地证明了"1+2",也就是"任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和".这是迄今为止,这一研究领域最佳的成果,距摘取这颗"数学王冠上的明珠"仅一步之遥,在世界数学界引起了轰动."1+2"也被誉为陈氏定理.  

哥德巴赫的问题可以推论出以下两个命题,只要证明以下两个命题,即证明了猜想:  

(a)任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和.  

(b)任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和.  

这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意.200年过去了,没有人证明它.到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近.1920年,挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:每一个比6大的偶数都可以表示为(9+9).这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫猜想”.  

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理(Chen'sTheorem).“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积.”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式.  

在陈景润之前,关於偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s+t”问题)之进展情况如下:  

1920年,挪威的布朗(Brun)证明了“9+9”.  

1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7”.  

1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了“6+6”.  

1937年,意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”.  

1938年,苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5”.  

1940年,苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“4+4”.  

1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c”,其中c是一很大的自然数.  

1956年,中国的王元证明了“3+4”.  

1957年,中国的王元先后证明了“3+3”和“2+3”.  

1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了“1+5”,中国的王元证明了“1+4”.  

1965年,苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3”.  

1966年,中国的陈景润证明了“1+2”.  

而1+1,这个哥德巴赫猜想中的最难问题,还有待解决.


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