数学结构中的“格”

发布时间:2021年01月15日 阅读:398 次

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英文  

lattice  

简介  

一类代数结构.它是建立在偏序集P=(E,≤)之上的.由E的任意元素x,y构造的如下两个集合N1(x,y)={z∈E|x≤z且y≤z}及N2(x,y)={z∈E|z≤x且z≤y}.它们作为P的子集均仍为偏序集,一般不一定有最小元或最大元.若对P的任意元素x,y,N1(x,y)均有最小元,N2(x,y)均有最大元,则称P为格,并记为L.在格L上,把N1(x,y)和其最小元的对应关系视为一类二元运算,称为x和y的交,记为x∧y.对称地,把N2(x,y)和其最大元的对应关系视为x和y的结,记为x∨y.它们是格上最基本的运算.这两类运算满足:  

1.同一律x∨x=x,x∧x=x.  

2.交换律x∨y=y∨x;x∧y=y∧x.  

3.结合律x∨(y∨z)=(x∨y)∨z,  

x∧(y∧z)=(x∧y)∧z.  

4.吸收律x∧(x∨y)=x∨(x∧y)=x,  

其中x,y和z均为E的任意元素.因此格又可视为满足上述四条规律的代数结构L=(E,∨,∧).  

虽然格的理论建立较晚,大约在20世纪30年代左右,但是很快就在解决序集问题和组合问题及代数问题中迅速发展,成为有关研究的有效理论基础.格理论伴随拟阵理论的发展就是一个明显的例证.与一般具有序特征的代数结构不同的是,格中元素的序特征不是外在的,而是内在的.这是由于它们的序关系完全可以等价地由格的内在运算来刻画:x≤y当且仅当x∨y=y或者x≤y当且仅当x∧y=x.这也反映了格的交运算与结运算的对称性.有一些重要的格的例子.例如,B=(2E,)是格,这里2E为E的所有子集的构成的集族,而|E|=n,其上的结运算x∨y为集x和集y的并集,交运算x∧y为集x和集y的交集.又如,若自然数n的所有正整除数组成集合为E,E的元素x,y有序关系xRy当且仅当x能整除y,则偏序集P=(E,R)为格,x∨y为x和y的最小公倍数,x∧y为x和y的最大公约数.


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